支出函数

支出函数的概述
　　支出函数是表示消费者支出的函数。
　　假定效用函数为U=u(x)x是消费的向量，即 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/b/4/1b4397538abc1e76f7bb6b45adc59026.png" alt="X=(x_1x_2\cdots x_n)">，且有：x > ON。P为消费的价格向量，P = (p1P2cdotsPn) > ON，ON是零向量。
　　在这种情况下，支出函数就可定义为：
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/5/e/c5ec354d67c3d1594a5715f1f06e2c1e.png" alt="E(u\cdot P)=\min\left\{P\cdot X:U(x)\ge U xgeO_N\right\}">
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/8/0/28044d5c38cc4ec5e5e4034f2214c1ab.png" alt="P\cdot x=\sum_{i=1}^n p:x_i">
　　意思是指消费者试图至少达到用指数u表示的效用或福利水平而使消费成本最小。
　　因此支出函数的推导是在效用既定的条件下，从支出最小化的一阶条件中求出补偿需求函数
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/1/a/f1a7a95bbead1d65f60f76910b0b8428.png" alt="q_i=q_i(P_1P_2\cdots P_n,u^o)">
　　则支出函数
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/5/7/a571ab2b3a15b7f058a9df0d2c064603.png" alt="E(p,w)=\sum_{i=1}^n P_i\cdot q_i(P_1P_2\cdots P_n,u^o)">。
">编辑] 支出函数与效用函数的关系
　　支出函数与效用函数存在对偶性关系。如给定特定的正则拟凹效用函数，则产生相应的价格上是一次齐次，在效用上是单调递增的支出函数，反过来，给定价格上是一次齐次的和效用上是单调递增的支出函数就产生正则拟凹的效用函数。支出函数除了价格上一次齐次，效用上单调递增的特性以外，通常还假定
　　(1)为非负函数，即E(P·u)>O；
　　(2)对于P是非递减的，即E(p1u) > E(p2u),u > Opl > p2 > ON。
　　(3)E(pu)是凹函数。也就是， $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/4/9/24913f37cc5b0f920fc0ebb59478c109.png" alt="E(np^l+(1-n)p^2)u)>\lambda E(p^1u)(1-n)E(p^2u)y>0 O<\lambda<1 p^l\ge O_N p^2\ge O_N">。
　　支出函数是研究消费者行为的重要的理论方法，支出函数与生产理论中的成本函数极为相似。
参考文献

↑ 1.0 1.1 梁小民.经济学大辞典.ISBN:7-80061-954-0.团结出版社,1994

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